Question

7．已知函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出的单调递增区间
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，a=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b²+c²的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期T与单调增区间；
（2）利用f（A）=2求出A的值，再利用正弦、余弦定理，即可求出b²+c²的值．

解答 解：（1）f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$-4sin²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
∴f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）△ABC中，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A=$\frac{π}{6}$；
又a=3，∴a²=b²+c²-2bccosA，
即9=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$，
∴b²+c²=9+$\sqrt{3}$bc；
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$bc=$\sqrt{3}$，
∴bc=4$\sqrt{3}$，
∴b²+c²=9+$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=21．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．