Question

20．已知圆M：x²+y²-4x-8y+4=0，若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．则四边形PAMB面积的最小值为（　　）

• A． 8$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{5}$
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 由题意知：S_PAMB=2×2S_△PAM=2×$\frac{1}{2}MB×PB$=4$\sqrt{P{M}^{2}-16}$，利用PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，即可求得结论．

解答 解：由题意知：圆M：x²+y²-4x-8y+4=0，圆心坐标为M（2，4），半径为4．
S_PAMB=2S_△PAM=2×$\frac{1}{2}MB×PB$=4$\sqrt{P{M}^{2}-16}$．
∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，
∴PM_min=$\frac{6+16+8}{5}$=6，
∴（S_PAMB）_min=4$\sqrt{36-16}$=8$\sqrt{5}$，
即四边形PAMB的面积的最小值为8$\sqrt{5}$．
故选A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．