Question

12．已知f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）内为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对于实数a的不同取值，试讨论y=f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出导函数，根据题意问题等价为g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，再根据二次函数的性质转化为：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可，
（Ⅱ）分类讨论．利用导数的正负，即可得出y=f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

解答 解：（Ⅰ）对函数g（x）求导得，f'（x）=2x²-4ax-3，
∵f（x）在区间（-1，1）内为减函数，
∴f'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
结合二次函数的图象和性质，
问题等价为：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≤0}\\{-4a-1≤0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$，
∴实数a的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，
（Ⅱ）当a＜-$\frac{1}{4}$时，f′（-1）=4a-1＜0，f′（1）=-4a-1＞0
∴f（x）在（-1，1）内有且只有一个极小值点，
当a＞$\frac{1}{4}$时，f′（-1）=4a-1＞0，f′（1）=-4a-1＜0，
∴f（x）在（-1，1）内有且只有一个极大值点，
当-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$时，由（Ⅰ）可知在区间（-1，1）上为减函数，
∴f（x）在区间（-1，1）内没有极值点．
综上可知，当a＜-$\frac{1}{4}$或a＞$\frac{1}{4}$时，函数在区间（-1，1）内的极值点个数为1；当-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$时，在区间（-1，1）内的极值点个数为0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．