Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＜-1，f（x）在（0，1]上的最大值为-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，（x＞0）．对a分类讨论：当a≥0时，f′（x）＞0，即可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＜0时，f′（x）=$\frac{a（x+\sqrt{\frac{-1}{a}}）（x-\sqrt{\frac{-1}{a}}）}{x}$，进而得出单调性．
（2）a＜-1时，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$∈（0，1）．由（1）可得：函数f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上单调递增，在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，1]上单调递减，可得当x=$\sqrt{\frac{-1}{a}}$时，函数f（x）取得极大值即最大值，利用$f（\sqrt{\frac{-1}{a}}）$=-1，解出即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，（x＞0）．
当a≥0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f′（x）=$\frac{a（x+\sqrt{\frac{-1}{a}}）（x-\sqrt{\frac{-1}{a}}）}{x}$，
则函数f（x）在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，+∞）上单调递减，在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上单调递增．
综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＜0时，函数f（x）在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，+∞）上单调递减，在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上单调递增．
（2）a＜-1时，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$∈（0，1）．
由（1）可得：函数f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{a}}$）上单调递增，在（$\sqrt{\frac{-1}{a}}$，1]上单调递减，
∴当x=$\sqrt{\frac{-1}{a}}$时，函数f（x）取得极大值即最大值，∴$f（\sqrt{\frac{-1}{a}}）$=$\frac{1}{2}a×（-\frac{1}{a}）$+ln$\sqrt{\frac{-1}{a}}$=-1，
∴ln$\sqrt{\frac{-1}{a}}$=-$\frac{1}{2}$，解得a=-e．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．