Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）求sinAsinB的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，化简已知可得2sinAcosC=-sinA，结合sinA≠0，可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（2）由（1）及三角函数恒等变换化简可得sinAsinB=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，结合范围0＜A＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为：$\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$，
所以：由正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{cosB}$=$\frac{-sinC}{cosC}$，
所以：2sinAcosC=-（sinBcosC+sinCcosB）=-sinA．
因为：sinA≠0，
所以：cosC=-$\frac{1}{2}$．
又因为：0＜C＜π，
故C=$\frac{2π}{3}$． …（5分）
（2）因为：sinAsinB=sinAsin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1-cos2A}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$．
因为：0＜A＜$\frac{π}{3}$，
所以：当A=$\frac{π}{6}$时，sinAsinB有最大值为$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．