Question

1．点P在直径为AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，∠PAB=α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？

Answer 1

分析 由AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠APB为直角，再由AB=1，表示出PA与PB，根据PT与圆相切，表示出BC，进而表示出四边形ABTP的面积，整理后，利用正弦函数的值域确定出最大值即可．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠APB=90°，AB=1，
∵∠PAB=α，
∴PA=cosα，PB=sinα，
又PT切圆于P点，∠TPB=∠PAB=α，
∴BC=sinα•PB=sin²α，
∴S_{四边形ABTP}=S_△PAB+S_△TPB
=$\frac{1}{2}$PA•PB+$\frac{1}{2}$PT•BC
=$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{4}$sin2α+$\frac{1}{4}$（1-cos2α）
=$\frac{1}{4}$（sin2α-cos2α）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜2α-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{4}$π，
∴当2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{3}{8}$π时，S_{四边形ABTP}最大．

点评 此题考查了圆周角定理，正弦函数的值域，三角函数的恒等变换在解三角形中的应用，熟练掌握三角函数的恒等变换是解本题的关键，考查了转化思想，属于中档题．