Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右顶点A是抛物线y²=8x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，$\frac{5}{3}$）的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$成立（Q为直线l外的一点）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意运用离心率公式和抛物线的焦点，可得a，c，b，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$，可得$\overrightarrow{NM}$=3$\overrightarrow{PN}$，再分类讨论：当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，此时直线方程x=0；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+$\frac{5}{3}$，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量条件，即可确定不存在．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
即有a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$，
∴$\overrightarrow{NM}$=3$\overrightarrow{PN}$，①
当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，
此时直线方程x=0；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+$\frac{5}{3}$，代入椭圆方程，消元可得：
（9+36k²）x²+120kx+64=0，
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0，可得k²＞$\frac{4}{9}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{120k}{9+36{k}^{2}}$②，x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$③，
由①得x₁=4x₂④，
由②③④消去x₁，x₂，可得$\frac{16}{9+36{k}^{2}}$=$\frac{（24k）^{2}}{（9+36{k}^{2}）^{2}}$，
∴9=0，矛盾．
综上，存在符合条件的直线l：x=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．