Question

10．已知曲线C上的点到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小2．
（1）求曲线C的方程；
（2）△AOB的一个顶点为曲线C的顶点O，A、B两点都在曲线C上，且∠AOB=90°，证明直线AB比过一定点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义求出抛物线的解析式即可；
（2）联立直线和抛物线构成方程组，结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入得：n²-4n=0，证出结论即可．

解答 解：（1）∵曲线C上的点到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小2，
即曲线C上的点到点F（1，0）的距离比它到直线x=-1的距离相等，
故曲线C的方程为：y²=4x；
（2）证明设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意设直线AB：x=my+n，
故$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：y²-4my-4n=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=4m}\\{{y}_{1}{•y}_{2}=-4n}\\{△=1{6m}^{2}+16n＞0}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{{{{y}_{1}}^{2}y}_{2}}^{2}}{16}$=n²，
∠AOB=90°，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
代入得：n²-4n=0，
故n=4时△＞0，
故直线AB过（4，0）．

点评 本题考查了抛物线的定义、性质，考查二次函数的性质以及韦达定理的应用，是一道中档题．