Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，-cosx），f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；
（2）根据f（A）=2计算A，根据面积计算c，再利用余弦定理求出a．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=3，
∴a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，余弦定理解三角形，属于中档题．