Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜a＜b）的实轴长为4，截直线y=x-2所得弦长为20$\sqrt{2}$．求：
（1）双曲线的方程；
（2）渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）由直线与双曲线联立得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，利用截直线y=x-2所得弦长为20$\sqrt{2}$，即可求出双曲线的方程；
（2）利用双曲线方程，求出渐近线方程．

解答 解：（1）∵2a=4，∴a=2，
由直线与双曲线联立得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4{b}^{2}}{|4-{b}^{2}|}$，
又弦长为$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=20$\sqrt{2}$，∴|x₁-x₂|=20，
∴$\frac{4{b}^{2}}{|4-{b}^{2}|}$=20，解得b²=5或b²=$\frac{10}{3}$＜4（舍去），
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）∵双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．