Question

5．球O与锐二面角α-l-β的两半平面相切，两切点间的距离为$\sqrt{3}$，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 12π
• D． 36π

Answer 1

分析 设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．

解答 解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，
过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，
其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，
由正弦定理得$\frac{PQ}{sin∠PRQ}=2$，∴$sin∠PRQ=\frac{PQ}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又二面角α-l-β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，
球O的表面积为S=4πR²=4π，故选B．

点评 本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．