Question

10．已知函数$f（\frac{x}{2}）=-\frac{1}{8}{x^{\;}}+\frac{m}{4}{x^2}-m，g（x）=-\frac{1}{2}{x^3}+m{x^2}+（a+1）x+2xcosx-m$．
（1）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））处的切线都经过点（2，t），
求证：t=3m-8或$t=-\frac{1}{27}{m^3}+\frac{2}{3}{m^2}-m$；
（2）当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得A，B处的切线方程，代入点（2，t），可得x₁，x₂为方程t-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的两个不等实根，化简整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m-t=0，令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m-t，求出导数，由题意可得g（x）必有一个极值为0，计算即可得到证明；
（2）由题意可得-x³+mx²-m≥-$\frac{1}{2}$x³+mx²+（a+1）x+2xcosx-m，即有$\frac{1}{2}$x³+（a+1）x+2xcosx≤0，讨论x=0，显然成立；当0＜x≤1时，运用参数分离和构造函数法，求出导数，判断单调性，求出最值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）证明：由f（$\frac{x}{2}$）=-$\frac{1}{8}$x³+$\frac{m}{4}$x²-m，可得f（x）=-x³+mx²-m，
f′（x）=-3x²+2mx，可得A处的切线方程：y-（-x₁³+mx₁²-m）=（-3x₁²+2mx）（x-x₁），
同理可得B处的切线方程：y-（-x₂³+mx₂²-m）=（-3x₂²+2mx）（x-x₂），
代入点（2，t），可得x₁，x₂为方程t-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的两个不等实根，
化简整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m-t=0，
令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m-t，g′（x）=6x²-2（m+6）x+4m=2（3x-m）（x-2），
由g′（x）=0，可得x=2或x=$\frac{m}{3}$．
g（2）=3m-8-t，g（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m-t，
由题意可得g（x）必有一个极值为0，则t=3m-8，或t=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m；
（2）当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，
即为-x³+mx²-m≥-$\frac{1}{2}$x³+mx²+（a+1）x+2xcosx-m，
即有$\frac{1}{2}$x³+（a+1）x+2xcosx≤0，
当x=0时，上式显然成立；
当0＜x≤1时，即有-a-1≥$\frac{1}{2}$x²+2cosx恒成立，
令m（x）=$\frac{1}{2}$x²+2cosx，m′（x）=x-2sinx，m′′（x）=1-2cosx，
由0＜x≤1时，1＜2cos1≤2cosx＜2，则1-2cosx＜0，
y=x-2sinx在（0，1]递减，可得x-2sinx＜0，
则m（x）在（0，1]递减，可得m（x）＜m（0）=2，
则-a-1≥2，解得a≤-3．
a的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，构造函数法，运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于综合题．