Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN．证明MN∥PD．然后证明PD∥平面OCM．
（Ⅱ）通过计算证明AB⊥BD．AB⊥PD．推出AB⊥平面BDP，说明∠APB为AP与平面PBD所成的角，然后求解即可．

解答 （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN．
因为O为AD的中点，AD=2，
所以OA=OD=1=BC．
又因为AD∥BC，
所以四边形OBCD为平行四边形，…（2分）
所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，
所以MN∥PD．…（4分）
又因为MN?平面OCM，PD?平面OCM，
所以PD∥平面OCM．…（6分）
（Ⅱ）由四边形OBCD为平行四边形，知OB=CD=1，
所以△AOB为等边三角形，所以∠A=60°，…（8分）
所以$BD=\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，即AB²+BD²=AD²，即AB⊥BD．
因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD．
又因为BD∩PD=D，所以AB⊥平面BDP，…（11分）
所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB=60°，…（13分）
所以$PB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$． …（15分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．