Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1．
（1）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的值域；
（2）设$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由已知可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质可求值域．
（2）由（1）及已知可求sinα，cosβ，结合范围α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可求cosα，sinβ，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（1）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值2．
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）取最小值-$\sqrt{3}$．
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．
（2）∵f（$\frac{1}{2}α+$$\frac{π}{12}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，f（$\frac{1}{2}β$+$\frac{π}{3}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{15}{65}$$-\frac{48}{65}$=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．