Question

4．为了考核某特警部队的应急反应能力，拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处．通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上，B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上（如图），测得C、B相距31千米，D、B相距20千米，C、D相距21千米，求A、D之间的距离．

Answer 1

分析 由图形求出∠CAD的度数，以及BC，BD及CD的长，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理求出AC的长，由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB-BD即可求出AD的长．

解答 解：如图，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
由余弦定理得：cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}}{2SC•BD}$=$\frac{3{1}^{2}+2{0}^{2}-2{1}^{2}}{2×31×20}$=$\frac{23}{31}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12\sqrt{3}}{31}$，
又在△ABC中，由正弦定理得：AC=$\frac{BCsinB}{sinA}$=$\frac{32×\frac{12\sqrt{3}}{31}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=24，
由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AC•ABcosA，即31²=AB²+24²-2×AB×24cos60°，
∴AB²-24AB-385=0，
解得：AB=35或AB=-11（舍去），
∴AD=AB-BD=35-20=15（km）．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．