Question

（理）已知数{a_n}，其中a₁=1，a_n=a_n-1.3^n-1（n≥2，且n∈N），数列{bn}的前n项和Sn=log3(

an

9n

）（n∈N）
（Ⅰ）求数列{ b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）因为a_n=a_n-1.3^n-1（n≥2，且n∈N），两边取对数得到log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），利用逐差求和的方法求出log₃a_n，代入已知条件求出S_n，进一步求出数列{ b_n}的通项公式；
（II）通过数列的通项，判断出从哪一项是正项，然后对n分类讨论求出数列{|b_n|}的前n项和T_n．

解答：解：（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）

∴log3an-

log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

∴log3an=

n(n-1)

2

Sn=log3

(

an

9n

)=

n2-5n

2

(n∈N)…(4分)
∴b1=S1=-2.

当n≥2时bn=Sn-Sn-1=n-3

∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n-3（n∈N）（2分）
（II）当b_n=n-3≤0，
即n≤3时T_n=-S_n=

5n-n2

2

；（2分） 
当b_n=n-3＞0，即n＞3时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+|b₄|+…+|b_n|=（b₁+b₂+b₃+…+b_n）-2（b₁+b₂+b₃）
=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

，…(3分)
综上所述T_n=

5n-n2 2 (n≤3，且n∈N) n2-5n+12 2 (n＞3，且n∈N).

（1分）

点评：求一个数列的前n项和，应该先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法．