Question

（理）已知数列{a_n}的各项均不为零，a₁=1，a₂=m，且对任意n∈N^*，都有

a

2 n+1

=anan+2+c．
（1）设c=1，若数列{a_n}是等差数列，求m；
（2）设c=1，当n≥2，n∈N^*时，求证：

an+1+an-1

a n

是一个常数；
（3）当c=（m+1）²时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题设条件求出公差，再利用等差数列的通项公式分别求出a_n，a_n+1，a_n+2，根据已知条件能求出m．
（2）由题设条件先求出a3=m2-1，

a1+a3

a2

=m，猜想

an-1+an+1

an

=m，由此能够证明

an+1+an-1

a n

是一个常数．
（3）先由已知条件求出

a1+a3

a2

=

m2+1-c

m

=-2，再类比猜想

an-1+an+1

an

=-2，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题意得：d=a₂-a₁=m-1，
a_n=1+（n-1）（m-1），
a_n+1=1+n（m-1），
a_n+2=1+（n+1）（m-1）
∵

a

2 n+1

=anan+2+1，
∴[1+n（m-1）]²=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+1
解得m=2．
（2）法一：∵a₁=1，a₂=m，

a

2 n+1

=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴

a1+a3

a2

=m，
猜想

an-1+an+1

an

=m
欲证明

an-1+an+1

an

=m恒成立
只需要证明

an-1+an+1

an

=

an+an+2

an+1

恒成立
即要证明a_n+1（a_n-1+a_n+1）=a_n（a_n+a_n+2）恒成立
即要证明an+1an-1+an+12=an2+anan+2恒成立，
∵

a

2 n+1

=anan+2+1，
∴an+1an-1=an2-1，anan+2=an+12-1，
∵a_n+1a_n-1+an+12=an+1an-1+an+12=an2-1+an+12，
an2+anan+2=an2+an+12-1，
∴an+1an-1+an+12=an2+anan+2成立．
综上所述：

an+1+an-1

a n

是一个常数．                                             
法二：∵a₁=1，a₂=m，

a

2 n+1

=anan+2+c，c=1，
∴a3=m2-1，∴

a1+a3

a2

=m，
猜想

an-1+an+1

an

=m，

a

2 n+1

=anan+2+1，an2=an-1an+1+1，

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，

a

2 n+1

+an-1an+1=

a

2 n

+anan+2，
由于a_n≠0，上式两边同除以a_na_n+1，
得

a   n+1 +an-1

an

=

a   n +an+2

an+1

(n≥2)．
∴

a   n +an+2

an+1

=

a   n-1 +an+1

an

=…=

a   1 +a3

a2

=

8

3

．
∴

an-1+an+1

an

=m是常数．
（3）∵a₁=1，a₂=m，

a

2 n+1

=anan+2+c，c=（m+1）²，
∴a₃=-2m-1，

a1+a3

a2

=

m2+1-c

m

=-2，
类比猜想

an-1+an+1

an

=-2，

a

2 n+1

=anan+2+c，an2=an-1an+1+c，

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，

a

2 n+1

+an-1an+1=

a

2 n

+anan+2，
由于a_n≠0，上式两边同除以a_na_n+1，
得

a   n+1 +an-1

an

=

a   n +an+2

an+1

(n≥2)．
∴

a   n +an+2

an+1

=

a   n-1 +an+1

an

=…=

a   1 +a3

a2

=

8

3

．
∴

an-1+an+1

an

=-2是常数，
∴

an-1+an+1

an

=-2，
∴（a_n-1+a_n）+（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n-1+a_n）=-（a_n+1+a_n），
∴an+1+an=(-1)n-1(m+1)，
∴a₁=1，a₂=m，a₃=-（2m+1），a₄=（3m+2），
由此猜想an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]，
用数学归纳法证明：显然n=1时，成立，
假设n=k时，ak=(-1)k[(k-1)m+(k-2)]成立，
则n=k+1时，ak+1=(-1)k-1(m+1)-ak
=（-1）^k-1（m+1）-（-1）^k[（k-1）m+（k-2）]，
∴ak+1=(-1)k-1[(m+1)+(k-1)m+(k-2)]，
∴ak+1=(-1)k-1[km+(k-1)]
=（-1）^k+1[km+（k-1）]，
∴对一切n∈N时，an=(-1)n[(n-1)m+(n-2)]成立．

点评：本题考查数列知识的综合运用，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细挖掘题设条件中的隐含条件，注意合理地进行类比猜想．