Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx，且定义域为（0，2）．
（1）求关于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若f（x）是定义域（0，2）上的单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x₁，x₂，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对x分0＜x≤1与1＜x＜2两种情况讨论，使函数f（x）=|x²-1|+x²+kx中的绝对值符号去掉，从而可求得f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）将f（x）=|x²-1|+x²+kx化为：f（x）=|，对k与二次函数的对称轴分与两种情况讨论，都可满足f（x）是定义域（0，2）上的单调函数，从而求得k的取值范围；
（3）解法一：当0＜x≤1时，kx=-1，①，当1＜x＜2时，2x²+kx-1=0，②
对于①②再分k=0与k≠0讨论解决；
解法二：f（x）=0⇒）=|x²-1|+x²=-kx，|x²-1|+x²=，从而-k=，
再分析函数的单调情况及取值，从而得到答案．
解答：解：（1）∵f（x）=|x²-1|+x²+kx，
∴f（x）=kx+3即|x²-1|+x²=3
当0＜x≤1时，|x²-1|+x²=1-x²+x²=1，此时该方程无解…（1分）
当1＜x＜2时，|x²-1|+x²=2x²-1，原方程等价于：x²=2，此时该方程的解为．
综上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解为．…（3分）
（2）∵f（x）=|x²-1|+x²+kx，
∴f（x）=…（4分）
∵k×1+1=2×1+k-1，…（5分）
可得：若f（x）是单调递增函数，则
∴此时k＞0…（6分）
若f（x）是单调递减函数，则
∴此时k≤-8，…（7分）
综上可知：f（x）是单调函数时k的取值范围为（-∞，-8]∪（0，+∞）．…（8分）
（2）[解法一]：当0＜x≤1时，kx=-1，①
当1＜x＜2时，2x²+kx-1=0，②
若k=0则①无解，②的解为x=±∉（1，2）故k=0不合题意 …（9分）
若k≠0则①的解为x=-，
（Ⅰ）当-∈（0，1]时，k≤-1时，方程②中△=k²+8＞0，
故方程②中一根在（1，2）内另一根不在（1，2）内，…（10分）
设g（x）=2x²+kx-1，而x₁x₂=-＜0则，   又k≤-1，
故-＜k＜-1，…（11分）
（Ⅱ）当-∉（0，1]时，即-1＜k＜0或k＞0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，…12分
而x₁x₂=-＜0，知道方程②必有负根，不合题意…13分
综上所述，故-＜k＜-1，…14分．
解法二：f（x）=0⇒）=|x²-1|+x²=-kx，…9分
|x²-1|+x²=，…10分
∴-k=…12分
分析函数的单调情况及取值情况易得解，用图象法须作图，再用必要文字说明…13分
利用分段函数的图象得：-＜k＜-1，…14分
点评：本题考查带绝对值的函数，解决的关键是通过分类讨论去绝对值符号，难点在于复杂的讨论与转化，考查学生综合分析与运算的能力，考查化归思想，分类讨论思想、属性结合思想，属于难题．