Question

已知数列{a_n}满足：，点在直线上，数列{b_n}满足：且．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（III）求{b_n}的通项公式；并探求数列{b_n}的前n和的最小值．

Answer 1

（I）解：点在直线上，
得到（1分）
所以，{a_n}为公差为的等差数列，（2分）
所以，（3分）
（II）证明：∵b_n-a_n=，
∴=
=
=
=．
∵b₁-a₁=-30，
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，为公比的等比数列．
（III）解：由（II）知，
所以，（8分）
采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和（9分）
（10分）
当n=1，2时，，
则T_n递减，即T₁＞T₂＞T₃，
当n≥3时，，
则T_n递增，即T₃＜T₄＜T₅＜…，
故T₃=-最小．
分析：（I）由点在直线上，得到，所以，{a_n}为公差为的等差数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（II）由b_n-a_n=，知==．且b₁-a₁=-30，由此能够证明数列{b_n-a_n}是以-30为首项，为公比的等比数列．
（III）由（II）知，，所以，，采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和，故T₃=-最小．
点评：本题考查数列通项公式的求法和等比数列的证明，探求数列{b_n}的前n和的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．