Question

已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=，．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）连结AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连结DE，证明ED∥BC₁，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（Ⅱ）设H是AC中点，F是EC中点，连结DH、HF、FD，证明∠DFH为二面角A-A₁C-D的平面角，即可求二面角A-A₁C-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：连结AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连结DE，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，且，
∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中点，
∵D为AB中点，∴ED∥BC₁．…（4分）
又∵ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．…（6分）
（Ⅱ）设H是AC中点，F是EC中点，连结DH、HF、FD，
∵D为AB中点，∴DH∥BC，同理可证HF∥AE．
又∵AC⊥CB，∴DH⊥AC．
又侧棱AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥DH．
∴DH⊥平面AA₁C₁C．…（8分）
由（Ⅰ）得AA₁C₁C是正方形，则A₁C⊥AE，∴A₁C⊥HF．
∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，∴DF⊥A₁C．
∴∠DFH即为二面角A-A₁C-D的平面角．…（10分）
又，
∴在Rt△DFH中，．
∴二面角A-A₁C-D的余弦值为．…（13分）
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确作出面面角．