若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在球O的球面上，AA₁=2

，AB=1，AC=2，∠ABC=90°，则球O的表面积为

16π

．

分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．

解答：

解：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为

12+(

)2+(2

=2，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是基础题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，CC′=AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的正视图，请根据此画出它的侧视图和俯视图；
（2）若P是AA′的中点，求四棱锥B′-C′A′PC的体积；
（3）求A′B与平面CB′所成角的正切值．

科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

科目：高中数学 来源： 题型：

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有两个动点E，F，且EF=a （a为常数）．
（Ⅰ）在平面ABC内确定一条直线，使该直线与直线CE垂直；
（Ⅱ）判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值．若是定值，求出这个三棱锥的体积；若不是定值，说明理由．

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，CC′=AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的正视图，请根据此画出它的侧视图和俯视图；
（2）若P是AA′的中点，求四棱锥B′-C′A′PC的体积；
（3）求A′B与平面CB′所成角的正切值．

科目：高中数学 来源：《空间几何体》2013年高三数学一轮复习单元训练（浙江大学附中）（解析版） 题型：解答题

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

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