Question

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；
法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．
（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x₂，y₂，z₂）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'-MN-C为直二面角，所以，解λ．
解答：（I）证明：连接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点，
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′；
法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，
M、N分别为A′B、B′C′的中点，
所以MP∥AA′，NP∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，
又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，
而MN?平面MPN，
因此MN∥平面A′ACC′．
（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，
设AA′=1，则AB=AC=1，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．
所以M（），N（），
设=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，
由，得，
可取，
设=（x₂，y₂，z₂）是平面MNC的法向量，
由，得，
可取，
因为二面角A'-MN-C为直二面角，
所以，
即-3+（-1）×（-1）+λ²=0，
解得λ=．
点评：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．