Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=

2

，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交于点D，B₁C₁的中点为M，求证：CD⊥平面BDM．

Answer 1

分析：先以CB为x轴，CC₁为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，然后分别确定点B、M、D的坐标，进而确定

CD

、

BD

、

BM

的坐标，再通过计算得向量乘积为0，证得

CD

⊥

BD

，

CD

⊥

BM

，则问题得证．

解答：证明：由题意知AC、BC、CC₁两两垂直，
则以CB为x轴，CC₁为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．
因为CB=

2

，CC₁=AA₁=1，CA=1，M为B₁C₁的中点．
所以B（

2

，0，0），M（

2

2

，1，0），
又因为点D是矩形AA₁B₁B的两条对角线的交点，
所以D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
则

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

BM

=（-

2

2

，1，0），

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），
所以

CD

•

BM

=-

1

2

+

1

2

=0，

CD

•

BD

=-

1

2

+

1

4

+

1

4

=0，
所以

CD

⊥

BM

，

CD

⊥

BD

，
又BM∩BD=B，
所以CD⊥平面BDM．

点评：本题考查向量法解决立体几何问题．