Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=2a，D棱B₁B的中点．
（Ⅰ）证明：A₁C₁∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AC与A₁D所成角的大小；
（Ⅲ）证明：直线A₁D⊥平面ADC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明A₁C₁∥AC，然后证明A₁C₁∥平面ACD．
（Ⅱ）先证明A₁A⊥AC．再证明AC⊥平面A₁ABB₁，推出异面直线AC与A₁D所成的角为90°．
（Ⅲ） 先证明 A₁D⊥AD，再由（Ⅱ）知A₁D⊥AC，故得到A₁D⊥平面ACD

解答：解：（Ⅰ）证：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁  …（2分）
又A₁C₁?平面ACD∴A₁C₁∥平面ACD  …（4分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC
∴A₁A⊥AC    …（6分）    又∠BAC=90°∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A₁ABB₁  …（8分）
又A₁D?平面A₁ABB₁，∴AC⊥A₁D
∴异面直线AC与A₁D所成的角大小为

π

2

．…（9分）
（Ⅲ）∵△A₁B₁D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°
∴∠A₁DA=90°即  A₁D⊥AD  …（11分）  
 由（Ⅱ）知A₁D⊥AC，
∴A₁D⊥平面ACD  …（14分）

点评：本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．