Question

已知关于t的方程t²-2t+a=0的一个根为1+

3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知另一根为1-

3

i，由此能求出a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），由log₄（x²+4）的最小值为1，知m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，由此能够推导出存在m=1满足条件．

解答：解：（Ⅰ）由题设知一根为1-

3

i，
∴a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），
∵log₄（x²+4）的最小值为1，
∴m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，
即2（1-m）k+m²-1≤0对k∈[-1，2]恒成立，
设g（k）=2（1-m）k+m²-1
则

g(-1)=m2+2m-3≤0 g(2)=m2-4m+3≤0

解得

-3≤m≤1 1≤m≤3

∴m=1，
因此存在m=1满足条件．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．