Question

（2005•上海模拟）已知关于t的方程t²-zt+4+3i=0（z∈C）有实数解，
（1）设z=5+ai（a∈R），求a的值．
（2）求|z|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设实数解为t，由条件可得 （t²-5t+4 ）+（-at+3）i=0，利用两个复数相等的充要条件列方程组求出a的值．
（2）化简复数z，利用复数的模的定义得到z的模的解析式，再利用基本不等式求出其取值范围．

解答：解：（1）设实数解为t，由t²-（5+ai）t+4+3i=0得  （t²-5t+4 ）+（-at+3）i=0．
故

t2-5t+4=0 -at+3=0

，∴

t=1 a=3

，或 

t=4 a= 3 4

．
∴a=3，或a=

3

4

．
（2）∵z=

t2+4+3i

t

=t+

4

t

+

3

t

i，∴|z|=

(t+ 4 t )2+ 9 t2

=

t2+ 25 t2 +8

≥3

2

，
∴|z|∈[3

2

，+∞)．

点评：本题考查复数的模的定义，两个复数相等的充要条件，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．