Question

若一个椭圆与双曲线x2-

y2

3

=1焦点相同，且过点（-

3

，1）．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）先求出双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的定义求出a，b，c，从而求出椭圆的方程；
（II）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点为R（x，y），则代入椭圆的方程后，两式相减，再利用斜率公式得出一式，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

解答：解：（I）由双曲线x2-

y2

3

=1得焦点F₁（-2，0），F₂（ 2，0），…（2分）
由条件可知，椭圆过点（-

3

，1），
∴2a=

(- 3 +2)2+1

+

(- 3 -2)2+1

，a²=6，
∴b²=6-4=2，
这个椭圆的标准方程

x2

6

+

y2

4

=1．
（II）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中点为R（x，y），
则

x12

6

+

y12

4

=1，

x22

6

+

y22

4

=1，
两式相减并整理可得

2x(x1-x2)

6

+

2y(y1-y2)

4

=0①
将

y1-y2

x1-x2

=2代入式①，
得所求的轨迹方程为x+3y=0（椭圆内部分）．

点评：本题主要考查了双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．