Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为

10

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN
必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y²=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意得，c=2，故a²-b²=4，又椭圆过点（2，

5

3

），代入椭圆方程，列方程求解即可．
（2）设出直线QA的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示出点M的坐标，同理，表示出点N的坐标，然后讨论直线MN与x轴的交点是否为定点．
（3）类比（2）中的结论，将椭圆改成抛物线，证明与（2）类似：设出P、M的坐标，利用直线OP的方程与抛物线方程联立，求出点N的坐标，进而求出MN的方程，从而MN与x轴的交点可求．

解答：解：（1）依题意，椭圆过点（2，

5

3

），故

4

a2

+

25

9b2

=1，a²-b²=4，解得a²=9，b²=5，故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=

m

12

（x+3），代入椭圆方程，整理得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，
设M（x₁，y₁），则-3x₁=

9m2-720

80+m2

，解得x₁=

240-3m2

80+m2

，y₁=

m

12

（x₁+3）=

40m

80+m2

，故点M的坐标为（

240-3m2

80+m2

，

40m

80+m2

）．
同理，直线QB的方程为y=

m

6

（x-3），代入椭圆方程，整理得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
设N（x₂，y₂），则3x₂=

9m2-180

20+m2

，解得x₂=

3m2-60

20+m2

，y₂=

m

6

（x₁-3）=-

20m

20+m2

，故点M的坐标为（

3m2-60

20+m2

，-

20m

20+m2

）．
①若

240-3m2

80+m2

=

3m2-60

20+m2

，解得m²=40，直线MN的方程为x=1，与x轴交与（1，0）点；
②若m²≠40，直线MN的方程为y+

20m

20+m2

=

10m

40-m2

（x-

3m2-60

20+m2

），令y=0，解得x=1，．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
（3）结论：已知抛物线y²=2px（p＞0）的顶点为O，P为直线x=-q（q≠0）上一动点，过点P作X轴的平行线与抛物线交于点M，直线OP与抛物线交于点N，则直线MN必过定点（q，0）．
证明：设P（-q，m），则M（

m2

2p

，m），直线OP的方程为y=-

m

q

x，代入y²=2px，得y²+

2pq

m

y=0，可求得N（

2pq2

m2

，-

2pq

m

），
直线MN的方程为y-m=

2pm

m2-2pq

（x-

m2

2p

），令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点（q，0）．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意运用方程思想、分类讨论、类比等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力，难度较大．