【题目】已知函数,(
).
(Ⅰ)若有最值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若存在
、
(
),使得曲线
在
与
处的切线互相平行,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明过程见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出原函数的导函数,通分整理后得到,然后根据二次三项式
对应方程根的情况分析导函数的符号,从而得到导函数的单调性,利用原函数的单调性求得使
有最值的实数
的取值范围;(Ⅱ)由曲线
在
与
处的导函数相等得到
,由已知
得到
,结合不等式
可证得答案.
试题解析:(Ⅰ)∵,(
),
∴,
.
由对应的方程的
知,
①当时,
,
在
上递增,无最值;
②当时,
的两根均非正,
因此, 在
上递增,无最值;
③当时,
有一正根
,
当时,
,
在
上递减,
当时,
,
在
上递增.
此时有最小值.
∴实数的范围为
;
(Ⅱ)证明:依题意: ,
整理得: ,
由于,
,且
,则有
,
∴
∴,
则.
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【题目】已知函数,
,(
为常数)
(1)若在
处的切线方程为
(
为常数),求
的值;
(2)设函数的导函数为
,若存在唯一的实数
,使得
与
同时成立,求实数
的取值范围;
(3)令,若函数
存在极值,且所有极值之和大于
,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设点在
上,点
在
上,求
的最小值.
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【题目】4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区,绿色出行引领时尚,旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计,若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,抽取一个容量为200的样本,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”,已知“经常使用单车用户”有120人,其中是“年轻人”,已知“不常使用单车用户”中有
是“年轻人”.
(1)请你根据已知的数据,填写下列列联表:
年轻人 | 非年轻人 | 合计 | |
经常使用单车用户 | |||
不常使用单车用户 | |||
合计 |
(2)请根据(1)中的列联表,计算值并判断能否有
的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?
(附:
当时,有
的把握说事件
与
有关;当
时,有
的把握说事件
与
有关;当
时,认为事件
与
是无关的)
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【题目】为美化小区环境,某社区针对公民乱扔垃圾的现象进行了罚款处罚,并随机抽取了200人进行调查,得到如下数据:
(1)若乱扔垃圾的人数与罚款金额
(单位:元)满足线性回归关系,求回归方程;
(2)由(1)得到的回归方程分析要使乱扔垃圾的人数不超过,罚款金额至少是多少元?
参考公式:两个具有线性关系的变量的一组数据: ,
其回归方程为,其中
,
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【题目】某教师有相同的语文参考书3本,相同的数学参考书4本,从中取出4本赠送给4位学生,每位学生1本,则不同的赠送方法共有( )
A. 15种 B. 20种 C. 48种 D. 60种
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【题目】在一次抽样调查中测得样本的6组数据,得到一个变量关于
的回归方程模型,其对应的数值如下表:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
(1)请用相关系数加以说明
与
之间存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(2)根据(1)的判断结果,建立关于
的回归方程并预测当
时,对应的
值为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,相关系数
公式为:
.
参考数据:
,
,
,
.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)设,
是曲线
图象上的两个相异的点,若直线
的斜率
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数有两个极值点
,
,且
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
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