Question

【题目】设.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，在内是否存在一实数，使成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，见解析

【解析】

（Ⅰ）当时，，求得切点，得到曲线在点处的切线的斜率，再由直线方程点斜式求解；

（Ⅱ）假设当时，在存在一点，使成立，则只需证明时，即可.利用导数证明函数在上递减，在上递增，则.于是，只需证明或即可.然后证明成立，可得当时，在上至少存在一点，使成立.

（Ⅰ）当时，，∴切点为，

又∵.

∴曲线在点处的切线的斜率为.

∴所求切线方程为，即；

（Ⅱ）假设当时，在存在一点，使成立，

则只需证明时，即可.

，

令得，，当时，，

当时，，当时，.

函数在上递减，在上递增，

∴.

于是，只需证明或f（）>e-1即可.

∵.

∴成立.

∴假设正确，即当时，在上至少存在一点，使成立.