Question

【题目】如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和.

（1）若在处看，的视角，在处看测得，求，；

（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设，公路的每千米建设成本为万元，公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本，试确定，的位置，使公路的总建设成本最小.

Answer 1

【答案】（1），；（2）当为，且为时，成本最小．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用，以及的展开公式列方程，解方程求得的值.（2）利用表示出，由此求得总成本的表达式，利用导数求得为何值时，总成本最小.

解：（1）在中，由题意可知，，则．

在中，，在中

因为，所以，

于是

所以

答：，

（2）在中，由题意可知，则．

同理在中，，则．

令，，

则，

令，得，记，，

当时，，单调减；

当时，，单调增．

所以时，取得最小值，

此时，．

所以当为，且为时，成本最小．