已知椭圆的中心在坐标原点O,左顶点,离心率,为右焦点,过焦点的直线交椭圆于、两点(不同于点).
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积时,求直线PQ的方程;
(3)求的范围.
(1);(2)或;(3)(2,6)
【解析】
试题分析:(1)设出椭圆的标准方程根据题意可a,利用离心率求得c,则b可求得,椭圆的方程可得.
(2)设出直线PQ的方程,与椭圆方程联立,设出P,Q的坐标,进而根据韦达定理表示出和,则利用弦长公式可表示出|PQ|,进而可表示出的面积方程可得.
(3)利用向量的坐标运算,建立函数关系式,利用椭圆的范围找到定义域,利用二次函数即可求范围.
试题解析:(1)设椭圆方程为 (a>b>0) ,由已知
∴ 2分
∴ 椭圆方程为. 4分
(2)解法一: 椭圆右焦点. 设直线方程为(∈R). 5分
由 得.① 6分
显然,方程①的.设,则有. 8分
由的面积==
解得:.
∴直线PQ 方程为,即或. 10分
解法二:
. 6分
点A到直线PQ的距离 8分
由的面积= 解得.
∴直线PQ 方程为,即或. 10分
解法三: 椭圆右焦点.当直线的斜率不存在时,,不合题意. 5分
当直线的斜率存在时,设直线方程为,
由 得. ① 6分
显然,方程①的.
设,则. 7分
=. 8分
点A到直线PQ的距离 9分
由的面积= 解得.
∴直线的方程为,即或. 10分
(3)设P的坐标(则 ∴
故
12分
∵∴的范围为(2,6) 14分
(注:以上解答题其他解法相应给分)
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)直线与圆锥曲线的位置关系;(3)向量的坐标运算;(4)弦长公式.
科目:高中数学 来源:2015届湖北孝感高级中学高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M到y轴的距离是( )
A. B. C.1 D.
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科目:高中数学 来源:2015届浙江温州十校联合体高二上学期期末联考理数学卷(解析版) 题型:填空题
若F1,F2是双曲线与椭圆的共同的左、右焦点,点P是两曲线的一个交点,且为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是 。
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科目:高中数学 来源:2015届浙江温州十校联合体高二上学期期末联考理数学卷(解析版) 题型:选择题
若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届河南郑州高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
如图一蜘蛛从A点出发沿正北方向爬行cm到B处捉到一只小虫,然后向右转,爬行10cm到C处捉到另一只小虫,这时它向右转爬行回到它的出发点,那么= .
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