Question

已知= (x∈R)在［-1,1］上是增函数.

       (1)求实数a的值所组成的集合A;

       (2)设关于x的方程=的两根为x₁、x₂,试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及?t∈?［-1,1］恒成立？若存在，求出m的范围;若不存在，请说明理由.

      

Answer 1

解析：(1)f′(x)=,?

       ∵在［-1,1］上是增函数，∴≥0对x∈［-1,1］恒成立，即x²-ax-2≤0.对x∈［-1,1］恒成立.?

       设φ(x)=x²-ax-2,.?

       ∵对x∈［-1,1］，是连续函数，且当a=1时，f′(-1)=0以及当a=-1时f′(1)=0.  ∴A={a|-1≤a≤1}.?

       (2)由=,得x²-ax-2=0.?

       ∵Δ=a²+8>0,∴x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的两实根.?

       ∴

       从而|x₁-x₂|=.?

       ∵-1≤a≤1,∴|x₁-x₂|=≤3.?

       要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立.?

       当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈［-1,1］恒成立，即m²+tm-2≥0对任意t∈［-1,1］恒成立.?

       设g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),?

       .?

       所以存在实数m使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立，其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}.