Question

16．某象棋比赛，规定如下：两名选手比赛时每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多3分获胜后停止，或打满7局时停止（可以出现没有获胜的情况）．设某学校选手甲和选手乙比赛时，甲在每局中获胜的概率为p（p＞$\frac{1}{2}$），且各局胜负相互独立．已知第三局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{1}{3}$．甲获胜的概率为$\frac{1400}{2187}$．

Answer 1

分析 根据题意，先求出甲每局获胜的概率p，再计算打满3局、打满5局以及打满7局甲获胜的概率，求和即可．

解答 解：比赛进行到第3局结束，应满足甲连胜3局，或乙连胜3局，
则p³+（1-p）³=$\frac{1}{3}$，
化简得，9p²-9p+2=0，
解得p=$\frac{2}{3}$，p=$\frac{1}{3}$（不合题意，舍去）；
所以，打满3局甲获胜的概率为${C}_{3}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
打满5局甲获胜时，前3局甲2胜第4、5局甲连胜，
其概率为${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，
打满7局甲获胜时，前5局甲3胜6、7甲连胜，
其概率为${C}_{5}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{320}{729×3}$；
所以，甲获胜的概率为P=$\frac{8}{27}$+$\frac{16}{81}$+$\frac{320}{729×3}$=$\frac{1400}{2187}$．
故答案为：$\frac{1400}{2187}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算问题，也考查了一定的计算能力，是综合性题目．