Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足（p-1）S_n=p²-a_n（p＞0，p≠1），且a₃=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$，数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，若对于任意的正整数n，都有T_n＜m²-m-$\frac{5}{4}$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，2，3，运用条件，求得p=3，再由数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求通项；
（Ⅱ）化简b_n，再由裂项相消求和，可得T_n＜$\frac{3}{4}$，由不等式恒成立思想可得$\frac{3}{4}$≤m²-m-$\frac{5}{4}$，解不等式可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，
解得p=a₁或p=0（舍去）．
由条件可知（p-1）S₂=（p-1）（a₁+a₂）=p²-a₂，
解得a₂=1．
再由（p-1）S₃=（p-1）（a₁+a₂+a₃）=p²-a₃，
解得a₃=$\frac{1}{p}$．
由a₃=$\frac{1}{3}$可得$\frac{1}{p}$=$\frac{1}{3}$，故p=3=a₁．
则2S_n=9-a_n，
当n＞1时，2S_n-1=9-a_n-1，
以上两式作差得2（S_n-S_n-1）=a_n-1-a_n，
即2a_n=a_n-1-a_n，
故a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1．
故数列{a_n}是首项为3，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
故a_n=3（$\frac{1}{3}$）^n-1=3^2-n．
（Ⅱ）因为b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{1}{2-（2-n）}$=$\frac{1}{n}$，
所以b_nb_n+2=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．
故要使T_n＜m²-m-$\frac{5}{4}$恒成立，
只需$\frac{3}{4}$≤m²-m-$\frac{5}{4}$，即m²-m-2≥0
解得m≤-1或m≥2．
故所求实数m的取值范围为（-∞，-1]∪[2，+∞）．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．