Question

16．已知一元二次方程x²+bx-2c=0，（b，c∈R）有两实根，其中一根x₁∈（-1，0），另一根x₂∈（0，1），则$\frac{c+1}{b+2}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 设f（x）=x²+bx-2c．利用根与系数之间的关系转化为不等式之间的关系，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设f（x）=x²+bx-2c．
∵x²+bx-2c=0有两根x₁，x₂，x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$_{，即$\left\{\begin{array}{l}{1-b-2c＞0}\\{-2c＜0}\\{1+b-2c＞0}\end{array}\right.$}
 由点（b，c）满足的平面区域如图所示，
$\frac{c+1}{b+2}$的几何意义为区域内的点与定点D（-2，-1）连线的斜率，
则由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（-1，0），B（1，0），
则AD的斜率k=$\frac{0+1}{-1+2}=1$，BD的斜率k=$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
∴k∈（$\frac{1}{3}$，1）．
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据根与系数之间的关系以及直线斜率公式是解决本题的关键．综合性较强．