Question

11．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，数列{a_n}满足a₁≥1，a_n+1≥f（a_n+1）．
（1）求证：a_n≥2ⁿ-1；
（2）证明：$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，运用代入法和数学归纳法，即可得证；
（2）由（1）的结论，运用放缩法和裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）∵f′（x）=x²-1，∴a_n+1≥a_n²+2a_n，
1）当n=1时，a₁≥1=2¹-1，命题成立；
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即a_k≥2^k-1；
那么当n=k+1时，a_k+1≥a_k²+2a_k=a_k（a_k+2）=2^2k-1≥2^k+1-1；
即当n=k+1时，命题成立；
所以，综上所述，命题成立．
（2）由（1）可得$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
则$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．
即有原不等式成立．

点评 本题主要考查与数列有关的不等式的证明问题，考查了数学归纳法及放缩法的证明，有一定的综合性．