Question

6．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）=log_a（x+2）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（$\root{3}{4}$，2）．

Answer 1

分析 先利用已知f（x）是定义在R上的偶函数求出在区间[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函数f（x）在区间[2，4]上的解析式，然后在画出图象，进而求出a的取值范围

解答 解：x∈[0，2]，f（x）=2^x-1，
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈[2，4]时，（x-4）∈[-2，0]，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1；
当x∈[4，6]时，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上恰有三个交点，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：

通过画图可知：
恰有三个交点的条件是$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}^{（6+2）}＞3}\\{{log}_{a}^{2+2}＜3}\end{array}\right.$，解得 ${2}^{\frac{2}{3}}$＜a＜2，
即 $\root{3}{4}$＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（$\root{3}{4}$，2）．
故答案为：（$\root{3}{4}$，2）．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，熟练掌握函数的性质及数形结合是解决问题的关键．