Question

16．已知函数f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1，
（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0；
（2）若对于任意x∈（1，3），f（x）+$\frac{1}{a}$x＞-3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为$a＜{（x+\frac{4}{x}）_{min}}$，x∈（1，3），求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵不等式$f（x）=（x-\frac{1}{a}）（x-a）≤0$，a＞0，
当0＜a＜1时，有$\frac{1}{a}＞a$，
∴不等式的解集为$\{x|a≤x≤\frac{1}{a}\}$；
当a＞1时，有$\frac{1}{a}＜a$，
∴不等式的解集为$\{x|\frac{1}{a}≤x≤a\}$；
当a=1时，不等式的解集为x∈{1}．
（2）任意x∈（1，3），$f（x）+\frac{1}{a}x$＞-3恒成立，
即x²-ax+4＞0恒成立，即$a＜x+\frac{4}{x}$恒成立，
所以$a＜{（x+\frac{4}{x}）_{min}}$，x∈（1，3），
所以a＜4．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的解法，函数恒成立问题，是一道中档题．