Question

11．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₂+a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比数列，S_n为{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{S_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过等差中项、等比中项计算可知公差为1，进而可得结论；
（II）通过裂项可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（I）∵a₁+a₂+a₃=6，
∴3a₂=6，即a₂=2，
∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴${a_1}{a_4}={a_2}^2$，
∴（2-d）（2+2d）=2²，
解得d=1或d=0（舍），
∴a_n=n；
（II）∵a_n=n，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴${T_n}=2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．