Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=

2x-1

x+1

，a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

，则S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用递推数列的通项公式可得a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n），累加求和．逆用对数的运算性质即可求得答案．

解答： 解：∵n≥1，n∈N，∴f（n）=

2n-1

n+1

=2-

3

n+1

≥

1

2

＞0，
∴a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n），
∴S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₂₀₁₃
=[log₂f（2）-log₂f（1）]+[log₂f（3）-log₂f（2）]+…+[log₂f（2014）-log₂f（2013）]
=[log₂f（2014）-log₂f（1）]
=log2(

2×2014-1

2014+1

)-log2(

2×1-1

1+1

)
=log2(

4027

2015

)+1．
故答案为：log2(

4027

2015

)+1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，求得a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n）是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．