Question

根据下列条件求双曲线的标准方程：
（1）经过点（

15

4

，3），且一条渐近线方程为4x+3y=0；
（2）P（0，6）与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为

π

3

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，可设双曲线的方程为16x²-9y²=m（m≠0），代入点的坐标计算即可得到；
（2）由题意可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），令两焦点为（-c，0），（c，0），两顶点为（-a，），（a，0），由题意可得c=6，a=2

3

，再由双曲线的a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线的方程．

解答： 解：（1）由于双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0，
可设双曲线的方程为16x²-9y²=m（m≠0），
代入点（

15

4

，3），得m=16×

225

16

-9×81=-504．
则有双曲线的标准方程为

y2

56

-

x2

63 2

=1；
（2）由题意可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
令两焦点为（-c，0），（c，0），两顶点为（-a，），（a，0），
由P（0，6）与两个焦点的连线互相垂直，
再由对称性，可得c=6，
由P与两个顶点连线的夹角为

π

3

，
再由对称性，可得6=

3

2

×2a，即有a=2

3

，
则b=

c2-a2

=

36-12

=2

6

．
则双曲线的标准方程为

x2

12

-

y2

24

=1．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的性质的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．