Question

设P是双曲线

x2

4

-

y2

16

=1右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线的渐近线分别交于A、B两点，△AOB的面积是9．且

AP

=λ

PB

（λ＞0），则λ的值是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=2x₁，y₂=-2x₂，运用定比分点坐标公式，得到x，y的关系式，再代入双曲线方程，求得|OA|，|OB|，再求两渐近线的夹角的正弦，由三角形的面积公式，解方程即可求得λ的值．

解答： 解：双曲线

x2

4

-

y2

16

=1的渐近线方程为y=±2x，
设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁=2x₁，y₂=-2x₂，
∵

AP

=λ

PB

（λ＞0），
∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

2x1-2λx2

1+λ

=2•

x1-λx2

1+λ

，
由点P（x，y）在双曲线

x2

4

-

y2

16

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

(x1-λx2)2

4(1+λ)2

=1，
化简得：x₁x₂=

(1+λ)2

λ

，
又|OA|=

x12+4x12

=

5

|x₁|，同理可得|OB|=

5

|x₂|，
∴|OA|•|OB|=5|x₁|•|x₂|=5•

(1+λ)2

λ

，
设直线OA与OB所成的夹角为2θ，∵tanθ=

4

2

=2，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2×2

1-4

=-

4

3

，
∴sin2θ=

4

9+16

=

4

5

，
∴S_△AOB=

1

2

•|OA|•|OB|sin2θ=

1

2

×5•

(1+λ)2

λ

×

4

5

=2•

(1+λ)2

λ

=9，
解得，λ=

1

2

或2．
故答案为：

1

2

或2．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质的综合应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．