Question

如图，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱长均为2，点D在侧棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）当AD+DC′取最小值时，求面ADC′和面ABB′A′所成的锐二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）将三棱柱的侧面展开，可知当D为BB'中点时，AD+DC'最小，即可求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面ADC'的一个法向量、平面ABB′A′A的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求面ADC′和面ABB′A′所成的锐二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，
可知当D为BB'中点时，AD+DC'最小，最小值为2

5

．（4分）
（Ⅱ）因为AA'⊥底面ABC，∠CAB=60°，在底面上过点A作AB的垂线，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．

所以D(2，0，1)，C′(1，

3

，2)，所以

AD

=(2，0，1)，

AC′

=(1，

3

，2)，（6分）
设面ADC'的一个法向量为

n

=(x，y，z)．
则

AD • n =0 AC′ • n =0

⇒

2x+z=0 x+ 3 y+2z=0

，
不妨令x=1，则

n

=(1，

3

，-2)．（8分）
因为平面ABB′A′A的一个法向量为（0，1，0），
设面ADC′和面ABB′A′所成的锐二面角为α，则cosα=

3

8

=

6

4

，
∴α=arccos

6

4

．

点评：本题考查面面角，考查距离和最小问题，考查学生分析解决问题的能力，考查向量知识的运用，正确求出法向量是关键．