Question

f（x）=

1

2

x²-lnx．
①求函数f（x）的值域；
②讨论方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①先求函数的定义域，对函数求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最值及值域．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数就是函数f（x）=

1

2

x²-lnx图象与直线y=m交点个数．利用数形结合的方法求解．

解答： 解：①函数的定义域（0，+∞），
f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

，令f′（x）≥0得x≥1； f′（x）≤0得0＜x≤1，
所以函数在（0，1]单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以函数在x=1时取得最小值，f（x）_min=f（1）=

1

2

．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数就是函数f（x）=

1

2

x²-lnx图象与直线y=m交点个数．
当m＜

1

2

时，两图象无交点，方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数为0，
当m=

1

2

时，两图象一个交点，方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数为1，
当m＞

1

2

时，两图象两个交点，方程

1

2

x²-lnx=m的根的个数为2．

点评：本题考查函数值域求解，体现了导数的工具作用，应用数形结合思想方法研究了方程根的个数．