Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（Ⅰ）若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）f（x）≥m恒成立，只需|x-1|+|x-2|的最小值f（x）_min≥m即可，所以求f（x）_min即能得到m的取值范围；
（Ⅱ）只要||a+b|-|a-b||的最大值小于等于|a|f（x）即可，所以求||a+b|-|a-b||的最大值便能一个绝对值不等式，解这个不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

-2x+3 x＜1 1 1≤x＜2 2x-3 x≥2

，∴f（x）的最小值为1；
∴1≥m，即m≤1；
∴m的取值范围为m≤1；
（Ⅱ）∵||a+b|-|a-b||≤2|a|；
∴2|a|≤|a|f（x）；
又a≠0，∴f（x）≥2，即|x-1|+|x-2|≥2     ①；
x＜1时，不等式①变成：-2x+3≥2，解得x≤

1

2

；
1≤x＜2时，不等式①变成：1≥2，无解；
x≥2时，不等式①变成：2x-3≥2，解得x≥

5

2

；
∴实数x的范围为（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．

点评：考查求绝对值函数的最值，绝对值不等式|a|-|b|≤|a+b|．