Question

函数f（x）=

1

3

x³-ax²-x，（x∈R）
（1）若函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线达到斜率的最小值，求a的值；
（2）函数g（x）=f′（x）+alnx，且g（x）恒有两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得f′（x）在x=1取得最小值，而f′（x）=x²-2ax-1，由此能求出a．
（2）g（x）=f′（x）+alnx=2x-2a+

a

x

，x＞0，根据条件，2x-2a+

a

x

=0，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由条件函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线达到斜率的最小值，
知f′（x）在x=1取得最小值，而f′（x）=x²-2ax-1，
∴a=1．
（2）g（x）=f′（x）+alnx=2x-2a+

a

x

，x＞0，
根据条件，2x-2a+

a

x

=0，
即2x²-2ax+a=0在x＞0有两个不等的实数根，
∴

4a2-8a＞0 x1+x2=a＞0 x1x2= a 2 ＞0

，解得a＞2，
∴a的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．