Question

已知数列{a_n}的各项均满足a₁=3，a₂=9，a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式是b_n=

1

log3an•log3an+1

，前n项和为T_n，求证：对于任意的正数n，总有T_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N），所以数列{a_n}是等比数列，结合a₁=3，q=3求数列{a_n}的通项公式
（2）由（1）b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法得出T_n=1-

1

n+1

＜1．

解答： （1）解：由已知得a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N），所以数列{a_n}是等比数列．            
因为a₁=3，a₂=9∴q=3，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（2）证明：由（1）∵b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，裂项求和法，考查计算能力．