Question

已知A（-1，0），B（1，0），动点M满足|MA|+|MB|=4，记动点M的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P在曲线C上，且满足

PA

•

PB

=t，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的应用,平面向量数量积的运算,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由A（-1，0），B（1，0），动点M满足|MA|+|MB|=4＞2，可得动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，即可求曲线C的方程；
（2）设P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，推出x₀²+y₀²=t+1．点P在曲线C上，

x02

4

+

y02

3

=1，得y₀²=t+1-x₀²，然后求出0≤x₀²≤4，解出2≤t≤3．得到实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵A（-1，0），B（1，0），动点M满足|MA|+|MB|=4＞2，
∴动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，得
（-1-x₀．-y₀）•（1-x₀，-y₀）=t，
即x₀²+y₀²=t+1，
∴y₀²=t+1-x₀²，
∵点P在曲线C上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴x₀²=4（t-2）．                                  
∵0≤x₀²≤4，
∴2≤t≤3．
∴实数t的取值范围为[2，3]．

点评：本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力．