Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（1）若函数f（x）在x=-1时取到极值，求实数a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a＞1时，在曲线y=f（x）上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得 f′（x）=3ax²-6x（a≠0），由此利用导数性质能求出实数a的值．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调性．
（3）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，由此能求出当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，∴f′（x）=3ax²-6x（a≠0）
∵函数f（x）在x=-1时取到极值，
∴f′（-1）=3a+6=0，解得a=-2，
经检验a=-2时，函数f（x）在x=-1时取到极小值，
∴实数a的值为-2．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
①当a＜0时，

2

a

＜0，由f′（x）＞0，得

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜

2

a

或x＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（

2

a

，0），单调减区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞）．
②当a＞0时，

2

a

＞0，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞），
单调减区间为（

2

a

，0）．
（3）假设存在满足要求的两点A，B，
即在点A、B处的切线都与y轴垂直，
则k_A=k_B=0，即f′（x）=3ax²-6x=0，解得x=0或x=

2

a

，
∴A（0，1-

3

a

），B（

2

a

，-

4

a2

+1-

3

a

），
又线段AB与x轴有公共点，∴y_Ay_B≤0，
即（10，

3

a

）（-

4

a2

+1-

3

a

）≤0，又a＞1，解得3≤a≤4，
所以当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．